Question

數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，．
（Ⅰ）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅲ）若，數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）詳見(jiàn)解析

解析試題分析：（Ⅰ） 由，令可求，時(shí)，利用可得與之間的遞推關(guān)系，構(gòu)造等可證等比數(shù)列；（Ⅱ）  由（Ⅰ）可求，利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列的和；（Ⅲ）由（Ⅱ）進(jìn)而可求，利用（）進(jìn)行不等式放縮，求數(shù)列{}的和即可求證.
試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/41/5/ezs7o2.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以  ① 當(dāng)時(shí)，，則，             （1分）
② 當(dāng)時(shí)，，       （2分）
所以，即，
所以，而，             （3分）
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以．   （4分）
（Ⅱ）由(1)得．
所以 ①，
②，               （5分）
②-①得：，                    （7分）
                 .    （9分）
（Ⅲ）由(Ⅰ)知                                      （10分）
（1）當(dāng)時(shí)，成立；                      （11分）
（2）當(dāng)時(shí)，，，     （13分）
所以.    （14分）
（本題放縮方法不唯一,請(qǐng)酌情給分）
考點(diǎn)： 1.遞推關(guān)系；2.等比數(shù)列的概念；3.數(shù)列求和和不等式放縮.