Question

若函數(shù)f（x）=|ex+

a

ex

|在x∈[-

1

2

，1]上增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

[-

1

e

，

1

e

]

．

Answer 1

分析：分a＜0和a≥0 兩種情況進行討論，當a＜0時，ex+

a

ex

單調遞增，則必有ex+

a

ex

≥0在x∈[-

1

2

，1]上恒成立；
當a≥0時，f（x）=ex+

a

ex

，則有f′（x）=ex-

a

ex

≥0在x∈[-

1

2

，1]上恒成立，從而可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）當a＜0時，ex+

a

ex

單調遞增，
①若x∈[-

1

2

，1]時，ex+

a

ex

≤0，則f（x）=-（ex+

a

ex

）單調遞減，與函數(shù)f（x）=|ex+

a

ex

|在x∈[-

1

2

，1]上是增函數(shù)不符；
②若x∈[-

1

2

，1]時，ex+

a

ex

有零點x₀，x0∈(-

1

2

，1)，則-

1

2

＜x＜x₀時，ex+

a

ex

＜0，f（x）=-（ex+

a

ex

）單調遞減，也與題意不符，
故必有ex+

a

ex

≥0在x∈[-

1

2

，1]上恒成立，即a≥-e^2x恒成立，
又x∈[-

1

2

，1]時，-e^2x≤-e2(-

1

2

)=-

1

e

，∴-

1

e

≤a＜0．
（2）當a≥0時，f（x）=ex+

a

ex

，f′（x）=ex-

a

ex

，
∵f（x）在x∈[-

1

2

，1]上是增函數(shù)，∴f′（x）=ex-

a

ex

≥0在x∈[-

1

2

，1]上恒成立，
即a≤e^2x，又e^2x≥e2(-

1

2

)=

1

e

，所以0＜a≤

1

e

，綜上，實數(shù)a的取值范圍為[-

1

e

，

1

e

]．
故答案為：[-

1

e

，

1

e

]．

點評：本題考查了函數(shù)的單調性，解決本題的難點在于函數(shù)解析式含有絕對值符號，故解決本題的關鍵在于去掉絕對值符號．