已知A（x1，y1），B（1，y0），C（x2，y2）是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上的三點，F(xiàn)為橢圓的左焦點，且|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，則AC的垂直平分線是否過定點？請證明你的結(jié)論．
分析：線段AC的垂直平分線過定點(
1
4
，0)．利用焦半徑公式及|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，可得ex1+a+ex2+a=2（e×1+a），化為x1+x2=2．設線段AC的中點坐標為（1，m），①若直線AC的斜率不存在，則不符合題意．②當直線AC的斜率存在為k時，利用“點差法”可得
1
4
+
mk
3
=0，即mk=-
3
4
．可知k≠0．利用點斜式可得線段AC的垂直平分線方程為y-m=-
1
k
(x-1)，化為y=-
1
k
x+
1
k
+m，即y=-
1
k
x+
1+mk
k
，把mk=-
3
4
代入即可證明．
解答：解：線段AC的垂直平分線過定點(
1
4
，0)．
下面給出證明：
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，
∴ex1+a+ex2+a=2（e×1+a），化為x1+x2=2．
設線段AC的中點坐標為（1，m），若直線AC的斜率不存在，則不符合題意．
當直線AC的斜率存在為k時，由
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1，
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1，相減可得
x
2
1
-
x
2
2
4
+
y
2
1
-
y
2
2
3
=0，
∴
1
4
+
mk
3
=0，∴mk=-
3
4
．可知k≠0．
∵線段AC的垂直平分線方程為y-m=-
1
k
(x-1)，化為y=-
1
k
x+
1
k
+m，即y=-
1
k
x+
1+mk
k
，
∴y=-
1
k
x+
1
4k
，即y=-
1
k
(x-
1
4
)，當x=
1
4
時，y=0，
因此線段AC的垂直平分線過定點(
1
4
，0)．
點評：熟練掌握橢圓的焦半徑公式、等差數(shù)列的定義、分類討論的思想方法、線段的垂直平分線方程、過定點問題等是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx-
12
ax2+bx（a＞0）且f′（1）=0，
（1）試用含a的式子表示b，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）（0＜x1＜x2）為函數(shù)f（x）圖象上不同兩點，G（x0，y0）為AB的中點，記AB兩點連線斜率為K，證明：f′（x0）≠K．

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已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是拋物線y=2x2上兩個不同點，若x1x2=-
12
，且A、B兩點關于直線y=x+m對稱，試求m的值．

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已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
2x
1-2x
，x≠
1
2
-1，x=
1
2
的圖象上的任意兩點，點M在直線x=
1
2
上，且
AM
=
MB
．
（1）求x1+x2的值及y1+y2的值；
（2）已知S1=0，當n≥2時，Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n-1
n
)，設an=2Sn，Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若存在正整數(shù)c，m，使得不等式
Tm-c
Tm+1-c
＜
1
2
成立，求c和m的值．
（3）在（2）的條件下，設bn=31-Sn，求所有可能的乘積bi•bj（1≤i≤j≤n）的和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=loga(ax-1)（a＞0，且a≠1）
（1）求此函數(shù)的定義域；
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）為函數(shù)y=loga(ax-1)圖象上任意不同的兩點，若a＞1，求證：直線AB的斜率大于0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•樂山一模）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f（x）=
2x
1-2x
，x≠
1
2
-1，x=
1
2
的圖象上的兩點（可以重合），點M在直線x=
1
2
上，且
AM
=
MB
．則y1+y2的值為
-2
-2
．

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