Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=

1

2

(|x-a2|+|x-2a2|-3a2)，
（1）當a=1時，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若?x∈R，f（x-1）≤f（x），求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當a=1時，求出函數的表達式，根據函數的奇偶性即可求出求不等式f（x）＞1的解集；
（2）作出函數f（x）的圖象，根據條件若?x∈R，f（x-1）≤f（x），利用數形結合即可求實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，f(x)=

x-3，x≥2 -1，1＜x＜2 -x，0≤x＜1

，
又函數f（x）為奇函數，故根據圖象，不等式f（x）＞1的解集為：（4，+∞）．
（2）當x≥0時，f（x）=

-x， 0≤x≤a2 -a2， a2＜x＜2a2 x-3a2， x≥2a2

，
由f（x）是奇函數，∴作出f（x）的圖象，
∵?x∈R，f（x-1）≤f（x），∴f（x-1）的圖象恒在f（x）圖象的下方，
即將f（x）的圖象往右平移一個單位后恒在f（x）的下方，
∴-3a²+1≥3a²，解得a²≤

1

6

，
即-

6

6

≤a≤

6

6

，

點評：本題主要考查分段函數的應用，利用數形結合以及函數奇偶性的對稱性是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．