Question

已知兩條直線l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，(A2+B2≠0且C₁≠C₂）．求證：
（1）l₁∥l₂；
（2）l₁與l₂之間的距離是d=

|C1-C2|

A2+B2

．

Answer 1

分析：（1）方法一：利用直線的斜率垂直與不存在兩種情況，判斷兩條直線的平行即可．
方法二：利用直線平行的充要條件，證明兩條直線平行．
（2）直徑利用兩條平行直線的距離公式求解即可．

解答：證明：（1）（方法一）若B=0，則A≠0，
∴兩條直線變?yōu)椋?span id="fc1m2ow" class="MathJye">x=-

C1

A

，x=-

C2

A

，
∴兩條直線都與x軸垂直，
∴l(xiāng)₁∥l₂或重合．
又由于C₁≠C₂，
∴l(xiāng)₁∥l₂．…（2分）
若B≠0，則兩直線方程化為l1：y=-

A

B

x-

C1

B

；l2：y=-

A

B

x-

C2

B

．
∴k1=-

A

B

，b1=-

C1

B

；k2=-

A

B

，b2=-

C2

B

．又C₁≠C₂，
∴k₁=k₂且b₁≠b₂，
即兩直線的斜率相等且在y軸上的截距不等，
∴l(xiāng)₁∥l₂．…（6分）
（方法二）∵AB-BA=0，
∴l(xiāng)₁∥l₂或重合．
又∵BC₂-BC₁=B（C₂-C₁）．
當(dāng)B≠0時(shí)，∵C₁≠C₂，
∴BC₂-BC₁≠0，因此l₁∥l₂；…（2分）
當(dāng)B=0時(shí)，A≠0，
∴兩條直線變?yōu)椋?span id="ozbn1er" class="MathJye">x=-

C1

A

，x=-

C2

A

，
∴兩條直線都與x軸垂直，
∴l(xiāng)₁∥l₂或重合．
又由于C₁≠C₂，∴l(xiāng)₁∥l₂．…（6分）
（2）在l₁上任取一點(diǎn)P（x₁，y₁），
則Ax₁+By₁=-C₁．
∴l(xiāng)₁與l₂之間的距離等于點(diǎn)P到l₂的距離，…（9分）
d=

|Ax1+By1+C2|

A2+B2

=

|C2-C1|

A2+B2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩條直線的平行的證明，平行線之間的距離的求法，考查計(jì)算能力基本知識(shí)的應(yīng)用．