Question

如圖，邊長為a的正方形ABCD中，點E、F分別在AB、BC上，且，將△AED、△CFD分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點，連結A¢B．

（Ⅰ）判斷直線EF與A¢D的位置關系，并說明理由；

（Ⅱ）求二面角F－A¢B－D的大�。�

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）異面垂直;（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先證明A¢D⊥面A¢EF即可得EF與A¢D的位置關系是異面垂直；

（Ⅱ）先作出并證明ÐOHF是二面角F－A¢B－D的平面角，再利用解三角形的方法求出ÐOHF的大小.

試題解析：（Ⅰ）A¢D⊥EF．         1分

證明如下：因為A¢D⊥A¢E，A¢D⊥A¢F，

所以A¢D⊥面A¢EF，又EFÌ面A¢EF，

所以A¢D⊥EF． 直線EF與A¢D的位置關系是異面垂直      4分

（Ⅱ）方法一、設EF、BD相交于O，連結A¢O，作FH⊥A¢B于H，              

連結OH，  因為EF⊥BD，  EF⊥A¢D．

所以EF⊥面A¢BD，A¢BÌ面A¢BD，  所以A¢B⊥EF，又A¢B⊥FH，

故A¢B⊥面OFH，OHÌ面OFH，       所以A¢B⊥OH，

故ÐOHF是二面角F－A¢B－D的平面角．

，A¢E＝A¢F＝，EF＝，則，

所以，△A¢EF是直角三角形，則，

則，，∴，，

則A¢B＝，所以，

所以， tanÐOHF＝，故ÐOHF＝．

所以二面角F－A¢B－D的大小為．  12分

方法二、設EF、BD相交于O，連結A¢O，作于G，可得A¢G⊥面BEDF，

，A¢E＝A¢F＝，EF＝，則，

所以，△A¢EF是直角三角形，則，

則，則，

∴，，

所以，，則，

分別以BF、BE為空間直角坐標系的x、y軸，建立如圖坐標系，則，， ，，故，，，，

因，，故面A¢BD的一個法向量，

設面A¢BF的一法向量為，則取，

設二面角F－A¢B－D的平面角為，則，∴，

故二面角F－A¢B－D的大小為．       12分

考點：1.直線與平面的位置關系；  2.二面角.