Question

已知函數(shù)，x∈[1，6]，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，試判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當a∈（1，6）時，求函數(shù)f（x）的最大值的表達式M（a）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）可求得f（x）=x-，利用f′（x）＞0即可判斷其單調(diào)性；
（Ⅱ）由于1＜a＜6，可將f（x）化為f（x）=，分1＜a≤3與3＜a＜6討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)f（x）的最大值的表達式M（a）．
解答：解：（1）∵a=1，x∈∈[1，6]，
∴f（x）=|x-1|-+1=x-，
∴f′（x）=1+＞0，
∴f（x）是增函數(shù)；
（2）因為1＜a＜6，所以f（x）=，
①當1＜a≤3時，f（x）在[1，a]上是增函數(shù)，在[a，6]上也是增函數(shù)，
所以當x=6時，f（x）取得最大值為．
②當3＜a＜6時，f（x）在[1，3]上是增函數(shù)，在[3，a]上是減函數(shù)，在[a，6]上是增函數(shù)，
而f（3）=2a-6，f（6）=，
當3＜a≤ 時，2a-6≤，當x=6時，f（x）取得最大值為．
當≤a＜6時，2a-6＞，當x=3時，f（x）取得最大值為2a-6．
綜上得，M（a）=．
點評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，著重考查函數(shù)的最值的求法，突出分類討論思想與化歸思想的考查，屬于難題．