Question

某商場以100元/件的價格購進一批襯衣，以高于進價的價格出售，銷售有淡季與旺季之分，通過市場調查發(fā)現(xiàn)：

①銷售量r(x)(件)與襯衣標價x(元/件)在銷售旺季近似地符合函數(shù)關系r(x)＝kx＋b₁；在銷售淡季近似地符合函數(shù)關系r(x)＝kx＋b₂，其中k＜0，b₁＞0，b₂＞0，且k，b₁，b₂為常數(shù)．

②在銷售旺季，商場以140元/件的價格銷售能獲得最大銷售利潤；

③若稱①中r(x)＝0時的標價x為襯衣的“臨界價格”，則銷售旺季的“臨界價格”是銷售淡季的“臨界價格”的1.5倍．

請根據(jù)上述信息，完成下面問題：

(1)填出表格中空格的內容：

(2)在銷售淡季，該商場要獲得最大銷售利潤，襯衣標價應定為多少元才合適？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在銷售旺季，y＝(kx＋b1)(x－100)＝kx2－(100k－b1)x－100b1； 　　在銷售淡季，y＝(kx＋b2)(x－100)＝kx2－(100k－b2)x－100b2， 　　所填內容如下表所示： 　　(2)∵k＜0，b1＞0，b2＞0．∴＞0，＞0． 　　∴50－＞0，50＞0． 　　則在銷售旺季，y＝kx2－(100k－b1)x－100b1， 　　∴當x＝＝50時，利潤y取最大值； 　　在銷售淡季，y＝kx2－(100k－b2)x－100b2， 　　∴當x＝＝50時，利潤y取最大值． 　　由②知，在銷售旺季，商場以140元/件的價格出售時，能獲得最大利潤， 　　因此在銷售旺季，當標價x＝50＝140時，利潤y取最大值．∴b1＝－180k． 　　∴此時銷售量為r(x)＝kx－180k．令kx－180k＝0，得x＝180， 　　即在銷售旺季，襯衣的“臨界價格”為180元/件． 　　∴由③知，在銷售淡季，襯衣的“臨界價格”為180×＝120元/件． 　　可見在銷售淡季，當標價x＝120元/件時，銷售量為r(x)＝kx＋b2＝0． 　　∴120k＋b2＝0．∴＝－120． 　　∴在銷售淡季，當標價x＝50＝50＋60＝110元/件時，利潤y取得最大值， 　　即在銷售淡季，商場要獲得最大利潤，應將襯衣的標價定為110元/件才合適．

提示：

思路分析：(1)銷售量總利潤y＝銷售量r(x)×每件利潤，每件利潤＝標價－進價；(2)轉化為求二次函數(shù)y＝f(x)的最大值，由條件②③求出b2與k的關系，應用二次函數(shù)的知識求解． 　　綠色通道：在應用問題中，需解決利潤最大、成本最少、費用最少等問題時，常常通過建立數(shù)學模型，轉化為求函數(shù)最值的問題．其步驟是：①閱讀理解，審清題意．讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，在此基礎上，分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應的數(shù)學問題；②引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型．如果條件中沒有設未知數(shù)，那么要設自變量為x，函數(shù)為y，必要時引入其他相關輔助變量，并用x，y和輔助變量表示各相關量，然后根據(jù)問題已知條件，運用已掌握的數(shù)學知識及其他相關知識建立關系式，在此基礎上將實際問題轉化為求函數(shù)最值問題，即所謂建立數(shù)學模型；③利用數(shù)學的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題(即數(shù)學模型)予以解答，求得結果；④將所得結果再轉譯成具體問題的答案．