Question

某商場以100元/件的價格購進一批襯衣，以高于進價的價格出售，銷售有淡季與旺季之分，通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：

①銷售量r(x)(件)與襯衣標價x(元/件)在銷售旺季近似地符合函數(shù)關系r(x)=kx+b₁；在銷售淡季近似地符合函數(shù)關系r(x)=kx+b₂，其中k＜0，b₁＞0，b₂＞0,且k,b₁,b₂為常數(shù).

②在銷售旺季，商場以140元/件的價格銷售能獲得最大銷售利潤；

③若稱①中r(x)=0時的標價x為襯衣的“臨界價格”，則銷售旺季的“臨界價格”是銷售淡季的“臨界價格”的1.5倍.

請根據(jù)上述信息，完成下面問題：

(1)填出表格中空格的內(nèi)容：

數(shù)量關系 銷售季節(jié)	標價(元/件)	銷售量r(x)(件) (含k、b1或b2)	不同季節(jié)的銷售總利潤y(元)與標價x(元/件)的函數(shù)關系式
旺季	x	r(x)=kx+b1
淡季	x

(2)在銷售淡季，該商場要獲得最大銷售利潤，襯衣標價應定為多少元才合適？

Answer 1

思路分析：(1)銷售量總利潤y=銷售量r(x)×每件利潤，每件利潤=標價-進價；(2)轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)y=f(x)的最大值，由條件②③求出b₂與k的關系，應用二次函數(shù)的知識求解.

解：(1)在銷售旺季，y=(kx+b₁)(x-100)=kx²-(100k-b₁)x-100b₁；

在銷售淡季，y=(kx+b₂)(x-100)=kx²-(100k-b₂)x-100b₂，

    所填內(nèi)容如下表所示:

數(shù)量關系 銷售季節(jié)	標價(元/件)	銷售量r(x)(件) (含k、b1或b2)	不同季節(jié)的銷售總利潤y(元)與標價x(元/件)的函數(shù)關系式
旺季	x	r(x)=kx+b1	y=kx2-(100k-b1)x-100b1
淡季	x	r(x)=kx+b2	y=kx2-(100k-b2)x-100b2

(2)∵k＜0，b₁＞0，b₂＞0.∴＞0，＞0.

∴50-＞0，50＞0.

則在銷售旺季，y=kx²-(100k-b₁)x-100b₁，

∴當x==50時，利潤y取最大值；

在銷售淡季，y=kx²-(100k-b₂)x-100b₂，

∴當x==50時，利潤y取最大值.

    由②知，在銷售旺季，商場以140元/件的價格出售時，能獲得最大利潤，

    因此在銷售旺季，當標價x=50=140時，利潤y取最大值.∴b₁=-180k.

∴此時銷售量為r(x)=kx-180k.令kx-180k=0，得x=180，

即在銷售旺季，襯衣的“臨界價格”為180元/件.

∴由③知，在銷售淡季，襯衣的“臨界價格”為180×=120元/件.

可見在銷售淡季，當標價x=120元/件時，銷售量為r(x)=kx+b₂=0.

∴120k+b₂=0.∴=-120.

∴在銷售淡季，當標價x=50=50＋60=110元/件時，利潤y取得最大值,

即在銷售淡季，商場要獲得最大利潤，應將襯衣的標價定為110元/件才合適.