Question

在2008年北京奧運(yùn)會(huì)某項(xiàng)目的選拔比賽中，A、B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行對(duì)抗賽，每隊(duì)三名隊(duì)員，A隊(duì)隊(duì)員是A₁、A₂、A₃，B隊(duì)隊(duì)員是B₁、B₂、B₃，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下表，現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng)進(jìn)行三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分，設(shè)A隊(duì)、B隊(duì)最后所得總分分別為ξ、η，且ξ+η=3．

對(duì)陣隊(duì)員	A隊(duì)隊(duì)員勝	A隊(duì)隊(duì)員負(fù)
A1對(duì)B1	2 3	1 3
A2對(duì)B2	2 5	3 5
A3對(duì)B3	3 7	4 7

（Ⅰ）求A隊(duì)得分為1分的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列；并用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)說明哪個(gè)隊(duì)實(shí)力較強(qiáng)．

Answer 1

分析：（1）A隊(duì)得分為1分包括第一個(gè)隊(duì)員勝且后兩個(gè)負(fù)，第二個(gè)隊(duì)員勝且一三兩個(gè)隊(duì)員負(fù)，第三個(gè)隊(duì)員勝且一二兩個(gè)負(fù)，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率．
（2）看出隨機(jī)變量的可能的取值，求出各個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，求出期望，比較兩個(gè)期望的大小，得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)A隊(duì)得分為（1分）的事件為A₀，
∴P(A0)=

2

3

×

3

5

×

4

7

+

1

3

×

2

5

×

4

7

+

1

3

×

3

5

×

3

7

=

41

105

．
（Ⅱ）ξ的可能取值為3，2，1，0；P(ξ=3)=P(A0)=

2

3

×

2

5

×

3

7

=

12

105

，P(ξ=2)=

2

3

×

2

5

×

4

7

+

1

3

×

2

5

×

3

7

+

2

3

×

3

5

×

3

7

=

40

105

P(ξ=1)=

2

3

×

3

5

×

4

7

+

1

3

×

2

5

×

4

7

+

1

3

×

3

5

×

3

7

=

41

105

，
P(ξ=0)=

1

3

×

3

5

×

4

7

=

12

105

，
∴ξ的分布列為：

于是Eξ=0×

12

105

+1×

41

105

+2×

40

105

+3×

12

105

=

157

105

，
∵ξ+η=3，
∴Eη=-Eξ+3=

158

105

．
由于Eη＞Eξ，故B隊(duì)比A隊(duì)實(shí)力較強(qiáng)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望問題．這是概率與統(tǒng)計(jì)大題考查的主陣地，預(yù)計(jì)還有可能與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、數(shù)列以及不等式等知識(shí)綜合考查．