Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞0，a＞0）的兩條漸近線為l₁，l₂，過(guò)右焦點(diǎn)F作垂直l₁的直線交l₁，l₂于A，B兩點(diǎn)，若|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：確定漸近線的夾角范圍，求出離心率的范圍，再用勾股定理得出直角三角形的2個(gè)直角邊的長(zhǎng)度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進(jìn)而求出離心率．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0）的兩條漸近線方程分別為
y=±

b

a

x，
不妨設(shè)

BF

，

FA

同向，則漸近線的傾斜角為（0，

π

4

），
∴漸近線斜率k′＜1，
∴

b2

a2

=e²-1＜1，
∴1＜e²＜2，
若|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列，
則|OA|+|OB|=2|AB|，
∵|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∵|OA|+|OB|=2|AB|，
∴|OA|=

3

4

|AB|，
∴

|AB|

|OA|

=

4

3

，
而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也為直角三角形，即tan∠AOB=

4

3

而由對(duì)稱(chēng)性可知：OA的斜率為k=tan

1

2

∠AOB，
∴

2k

1-k2

=

4

3

，∴2k²+3k-2=0，∴k=

1

2

（k=-2舍去）；
∴

b

a

=

1

2

，
∴

c2-a2

a2

=

1

4

，即c²=

5

4

a²，
∴e=

c

a

=

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)，由

|AB|

|OA|

=

4

3

聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的是漸近線的夾角的正切值，是解題的關(guān)鍵．