Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x²+y²=4與x軸負(fù)半軸交于點A，過點A的直線AM，AN分別與圓O交于M，N兩點．
（1）若k_AM=2，k_AN=-

1

2

，求△AMN的面積；
（2）過點P（3

3

，-5）作圓O的兩條切線，切點分別記為E，F(xiàn)，求

PE

•

PF

；
（3）若k_AM•k_AN=-2，求證：直線MN過定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）直線AM的方程為y=2x+4，直線AN的方程為y=-

1

2

x-1，由中位線定理知，AN=

8 5

5

，由此能求出△AMN的面積．
（2）由已知條件推導(dǎo)出cos∠OPE=

4 3

2 13

=

2 3

13

，cos∠FPE=2cos²∠OPE-1=

11

13

，由此能求出

PE

•

PF

．
（3）設(shè)直線AM的方程y=k（x+2），則直線AN的方程為y=-

2

k

（x+2），聯(lián)立方程

y=k(x+2) x2+y2=4

，得M（

2-2k2

1+k2

，

4k

1+k2

），同理N（

2k2-8

4+k2

，

-8k

4+k2

），由此能證明直線MN過定點（-

2

3

，0）．

解答： （1）解：由題知，得直線AM的方程為y=2x+4，
直線AN的方程為y=-

1

2

x-1，…（2分）
所以，圓心到直線AM的距離d=

|4|

5

，所以AM=2

4- 16 5

=

4 5

5

，
由中位線定理知，AN=

8 5

5

，…（4分）
由題知k_AM•k_AN=-1，所以AN⊥AM，S=

1

2

×

4 5

5

×

8 5

5

=

16

5

．…（6分）
（2）解：|

PE

|=

(3 3 )2+(-5)2-4

=4

3

，PO=

(3 3 )2+(-5)2

=2

13

，
所以cos∠OPE=

4 3

2 13

=

2 3

13

．…（8分）
所以cos∠FPE=2cos²∠OPE-1=2（

2 3

13

）²-1=

11

13

，
所以

PE

•

PF

=|

PE

|•|

PF

|cos∠EPF=(4

3

)2×

11

13

=

528

13

．…（10分）
（3）證明：由題知直線AM和直線AN的斜率都存在，且都不為0，
不妨設(shè)直線AM的方程y=k（x+2），則直線AN的方程為y=-

2

k

（x+2），
所以，聯(lián)立方程

y=k(x+2) x2+y2=4

，得（x+2）[（1+k²）x+2k²-2]=0，
得x=-2或x=

2-2k2

1+k2

，
所以M（

2-2k2

1+k2

，

4k

1+k2

），同理N（

2k2-8

4+k2

，

-8k

4+k2

），…（13分）
因為x軸上存在一點D（-

2

3

，0），
所以kDM=

-4k 1+k2

2-2k2 1+k2 +6

=

-4k

4k2+8

=

-k

k2+2

，同理kDN=

-k

k2+2

，…（15分）
所以k_DN=k_DM，所以直線MN過定點（-

2

3

，0）．…（16分）

點評：本題考查三角形面積的求法，考查向量的數(shù)量積的求法，考查直線過定點的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．