Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長軸長為4，離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設橢圓C的右焦點為F，直線3x-2y=0與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點為P，若直線4x+3y+m=0與以PF為直徑的圓相切，求實數(shù)m值．

Answer 1

分析 （1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，即可求得a和b的值，由b²=a²-c²，求得b，即可求得橢圓C的標準方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，求得交點坐標，求得P點坐標，由PF為直徑的圓的圓心坐標為$（1，\frac{3}{4}）$，半徑為$\frac{3}{4}$，求得圓的方程，當直線4x+3y+m=0與圓相切時，則$d=\frac{{|{4+\frac{9}{4}+m}|}}{5}=\frac{3}{4}$，即可求得實數(shù)m值．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ c=1\end{array}\right.$…（4分）
∴b²=a²-c²=3，
故橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（6分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ 3x-2y=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=±1\\ y=±\frac{3}{2}\end{array}\right.$，…（8分）
∵點P在第一象限，
∴$P（1，\frac{3}{2}）$，又F（1，0），
則以PF為直徑的圓的圓心坐標為$（1，\frac{3}{4}）$，半徑為$\frac{3}{4}$，
此圓的方程為${（x-1）^2}+{（y-\frac{3}{4}）^2}=\frac{9}{16}$，…（10分）
當直線4x+3y+m=0與圓相切時，則$d=\frac{{|{4+\frac{9}{4}+m}|}}{5}=\frac{3}{4}$，
解得：m=-10，或$m=-\frac{5}{2}$．…（14分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的交點坐標的求法，考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．