Question

傾斜角為α的直線l過點P（8，2），直線l和曲線C：

x=4 2 cosθ y=2sinθ

（θ為參數）交于不同的兩點M₁、M₂．
（1）將曲線C的參數方程化為普通方程，并寫出直線l的參數方程；
（2）求|PM₁|•|PM₂|的取值范圍．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）消去參數，把曲線C的參數方程化為普通方程；由直線l的傾斜角和過點P，寫出參數方程；
（2）把l的參數方程為代入曲線C的方程，由參數的幾何意義得|PM₁|•|PM₂|=t₁•t₂，求出取值范圍即可．

解答： 解：（1）∵曲線C的參數方程是

x=4 2 cosθ y=2sinθ

（θ為參數），
∴化為普通方程是

x2

32

+

y2

4

=1；
又∵直線l的傾斜角為α，且過點P（8，2），
∴l(xiāng)的參數方程為

x=8+tcosα y=2+tsinα

（t為參數）；
（2）將l的參數方程為代入曲線C的方程得：
（8+tcosα）²+8（2+tsinα）²=32，
整理得：（8sin²α+cos²α）t²+（16cosα+32sinα）t+64=0，
∴|PM₁|•|PM₂|=t₁•t₂=

64

1+7sin2α

≤64；
又△=（16cosα+32sinα）²-4（8sin²α+cos²α）×64≥0，
∴（cosα+2sinα）²-（8sin²α+cos²α）≥0，
∴sinαcosα≥2sin²α；
又sinα≥0，
∴

cosα

sinα

≥2，
即

1-sin2α

sin2α

≥4，
∴

1

sin2α

≥5，
即sin²α≤

1

5

；
∴

64

1+7sin2α

≥

80

3

，
∴|PM₁|•|PM₂|的取值范圍是[

80

3

，64]．

點評：本題考查了參數方程的應用問題，解題時應消去參數，化參數方程為普通方程，并應用參數的幾何意義進行解答，是基礎題目．