Question

【題目】在四棱錐中P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD，E、F，分別為PC、BD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）在線段AB上是否存在點(diǎn)G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值為 ，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，由正方形性質(zhì)可知，AC與BD相交于點(diǎn)F，

所以，在△PAC中，EF∥PA

又PA平面PAD，EF平面PAD

所以EF∥平面PAD

（2）解：取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OF，

因?yàn)镻A=PD，所以PO⊥AD，

又因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，交線為AD，所以PO⊥平面ABCD，

以O(shè)為原點(diǎn)，分別以射線OA，OF和OP為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，O﹣xyz，

不妨設(shè)AD=2

則有P（0，0，1），D（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），假設(shè)在AB上存在點(diǎn)G（1，a，0），0＜a＜2，

則 =（﹣1，2，﹣1）， =（﹣1，0，﹣1）， =（2，a，0）

因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，交線為AD，且底面是正方形，

所以CD⊥平面PAD，則CD⊥PA，

由PA2+PD2=AD2得PD⊥PA，

所以PA⊥PDC，即平面PDC的一個(gè)法向量為 =（1，0，﹣1）

設(shè)平面PDG的法向量為 =（x，y，z），則 ，亦即 ，可取 =（a，﹣2，﹣a）

由二面角C﹣PD﹣G的余弦值為 ，可得a=1，

所以線段AB上存在點(diǎn)G，且G為AB的中點(diǎn)，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值為

【解析】（1）連接AC，由正方形性質(zhì)可知，AC與BD相交于點(diǎn)F，證明：EF∥PA，即可證明EF∥平面PAD；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以射線OA，OF和OP為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，O﹣xyz，利用向量方法，即可求解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．