Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²+a，（a為常數），直線l與函數f（x）、g（x）=的圖象都相切，且l與函數f（x）圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（注：g′（x）是g（x）的導函數），求h（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）當k∈R時，試討論方程f（1+x²）-g（x）=k的解的個數．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數，由切線l與函數f（x）圖象的切點的橫坐標為1，把x=1代入導函數中求出的導函數值即為切線l的斜率，把x=1代入f（x）中求出的函數值即為切點的縱坐標，進而得到切點的坐標，根據切點坐標和斜率寫出直線l的方程，又直線l與g（x）的圖象相切，聯(lián)立兩解析式，消去y得到關于x的一元二次方程，得到此方程的根的判別式等于0，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）求出g（x）的導函數，求出f（x+1），代入h（x）=f（x+1）-g′（x）中確定出h（x），求出h（x）的導函數，令導函數大于0，求出x的取值范圍即為函數h（x）的單調增區(qū)間；
（3）把（1）中求出的a的值代入確定出g（x），求出f（1+x²），設y₁等于方程的左邊，y₂等于方程的右邊，求出y₁的導函數，令導函數等于0求出x的值，利用x的值分區(qū)間討論導函數的正負進而得到函數的單調區(qū)間，根據函數的增減性得到函數的極大值和極小值，根據求出的極大值和極小值分區(qū)間即可得到方程解的個數．

解答：解：（1）由f′（x）=

1

x

，把x=1代入得：f′（1）=1，
故直線l的斜率為1，切點坐標為（1，f（1）），即（1，0），
所以直線l的方程為：y=x-1，
∴直線l與y=g（x）的圖象相切等價于方程組

y=x-1 y= 1 2 x2+a

只有一解，
即方程

1

2

x²-x+a+1=0有兩個相等實根，
∴△=1-4×

1

2

（a+1）=0，解得a=-

1

2

；
（2）由g′（x）=x，f（x+1）=ln（x+1），
得到：h（x）=ln（x+1）-x（x＞-1），由h′（x）=

1

x+1

-1=-

x

x+1

，
令h′（x）＞0，即

x

x+1

＜0，解得：-1＜x＜0，
當x∈（-1，0）時，h（x）是增函數．即h（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，0）；
（3）由（1）知g（x）=

1

2

x²-

1

2

，令y₁=f（1+x²）-g（x）=ln（1+x²）-

1

2

x²+

1

2

，y₂=k，
由y′₁=

2x

1+x2

-x=

x(1-x)(x+1)

1+x2

，令y′₁=0，解得：x=0，-1，1
當x變化時，y′₁和y₁的變化關系如下表：

據此可知：當k=

1

2

時，方程有三解；
當k∈（

1

2

，ln2）時，方程有四解；
當k=ln2或k∈（-∞，

1

2

）時，方程有兩解；
當k∈（ln2，+∞）時，方程無解．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數的正負得到函數的單調區(qū)間，會利用導數研究函數的極值，是一道中檔題．