Question

已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²（m，n∈R）在x=2時有極值，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線3x+y=0平行．
（1）求m，n的值； 
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)取得極值的必要條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f′（2）=0，f′（1）=-3，解出a，b并驗證即可；
（2）分別解出f′（x）＞0和f′（x）＜0即，可得出其單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）=mx³+nx²（m，n∈R）
∴f'（x ）=3mx²+2nx，
∵函數(shù)f （x ）在x=2時有極值，
∴f'（2 ）=0，即 12m+4n=0，①
∵函數(shù)f （x ）的圖象在點（1，f （1 ））處的切線與直線3x+y=0平行．
∴f'（1 ）=-3，即3m+2n=-3，②
由①②解得，m=1，n=-3．
經(jīng)驗證滿足題意，∴m=1，n=-3．
（2）f'（x ）=3x²-6x=3x （x-2），
令3x（x-2）＞0，解得：x＜0或x＞2，
令3x（x-2）＜0，解得：0＜x＜2．
∴函數(shù)f （x ）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及其幾何意義等是解題的關(guān)鍵．