Question

在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)）．在極坐標系（與直角坐標系
xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸）中，曲線C的方程為sinθ=

ρ

2

-

2

ρ

．
（Ⅰ）判斷直線l與曲線C公共點的個數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）當α=

π

4

時，求直線l與曲線C公共點的坐標．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：選作題,坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C的方程化為直角坐標方程，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）當α=

π

4

時，直線l的普通方程為x-y-1=0代入x²+（y-1）²=5，即可求出直線l與曲線C公共點的坐標．

解答：解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得（x-1）sinα-ycosα=0過定點A（1，0）；曲線C的方程為sinθ=

ρ

2

-

2

ρ

的直角坐標方程為x²+（y-1）²=5，圓心坐標為C（0，1），半徑為r=

5

，
∴A在圓C內(nèi)，
∴直線l與曲線C有兩個不同的公共點；
（Ⅱ）當α=

π

4

時，直線l的普通方程為x-y-1=0代入x²+（y-1）²=5，得2x²-4x-1=0，
∴x=1±

6

2

，
∴直線l與曲線C公共點的坐標為（1-

6

2

，-

6

2

），（1+

6

2

，

6

2

）．

點評：本題考查參數(shù)方程化成普通方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)．