Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=4，DC=3，E是PC的中點(diǎn)．
（I）證明：PA∥平面BDE；
（II）求△PAD以PA為軸旋轉(zhuǎn)所圍成的幾何體體積．

Answer 1

分析：（I）連接AC交BD于O，連接EO．在△PCA中，根據(jù)中位線定理得到OE∥PA．再結(jié)合直線與平面平行的判定定理，可證出PA∥平面BDE．
（II）過(guò)D作PA的垂線，垂足為H，則△PAD以PA為軸旋轉(zhuǎn)所圍成的幾何體為DH為半徑，分別以PH，AH為高的兩個(gè)圓錐的組合體．利用錐體的體積計(jì)算公式，結(jié)合題中條件不難求出DH的長(zhǎng)，從而算出該幾何體的體積．

解答：解：（I）連接AC交BD于O，連接EO．
∵ABCD是正方形，∴O為AC中點(diǎn)，
∵E為PA的中點(diǎn)，∴OE∥PA．
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（II）過(guò)D作PA的垂線，垂足為H，則
△PAD以以PA為軸旋轉(zhuǎn)所圍成的幾何體為DH為半徑，分別以PH，AH為高的兩個(gè)圓錐的組合體
∵側(cè)棱PD⊥底面ABCD，AD⊆底面ABCD
∴PD⊥AD，
∵PD=4，DA=DC=3，∴PA=5，DH=

PD•DA

PA

=

4×3

5

=

12

5

所以，該幾何體的體積為：V=

1

3

πDH2•PH+

1

3

πDH2•AH
=

1

3

πDH2•PA=

1

3

π×(

12

5

)2×5=

48

5

π．

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊四棱錐，求證線面平行并且求旋轉(zhuǎn)體的體積，著重考查了線面平行的判定、線面垂直的性質(zhì)和棱錐的體積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．