Question

如果若干個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”．給出下列函數(shù)：
①f（x）=sinxcosx； 
②f（x）=

2

sin2x+1；
③f（x）=2sin（x+

π

4

）；       
④f（x）=sinx+

3

cosx．
其中“同簇函數(shù)”的是（　　）

• A、①②
• B、①④
• C、②③
• D、③④

Answer 1

分析：由于f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），再根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律，可得它與f（x）=2sin（x+

π

4

）的圖象間的關(guān)系．而其余的兩個函數(shù)的圖象僅經(jīng)過平移沒法重合，還必須經(jīng)過橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）的伸縮變換，故不是“同簇函數(shù)”．

解答：解：由于①f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x 與②f（x）=

2

sin2x+1的圖象僅經(jīng)過平移沒法重合，還必須經(jīng)過縱坐標(biāo)的伸縮變換，故不是“同簇函數(shù)”．
由于①f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x 與④f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

）的圖象僅經(jīng)過平移沒法重合，還必須經(jīng)過橫坐標(biāo)的伸縮變換，故不是“同簇函數(shù)”．
②f（x）=

2

sin2x+1與③f（x）=2sin（x+

π

4

） 的圖象僅經(jīng)過平移沒法重合，還必須經(jīng)過橫坐標(biāo)的伸縮變換，故不是“同簇函數(shù)”．
由于④f（x）=sinx+

3

cosx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

），
故把③f（x）=2sin（x+

π

4

）的圖象向左平移

π

12

，可得f（x）=2sin（x+

π

3

） 的圖象，
故③和④是“同簇函數(shù)”，
故選：D．

點評：本題主要考查行定義，函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．