Question

如圖，雙曲線(xiàn)的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線(xiàn)分別為l₁，l₂，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F垂直于l₁的直線(xiàn)分別交l₁，l₂于A，B兩點(diǎn)．又已知該雙曲線(xiàn)的離心率．

（1）求證：，，依次成等差數(shù)列；
（2）若F(，0)，求直線(xiàn)AB在雙曲線(xiàn)上所截得的弦CD的長(zhǎng)度．

Answer 1

解：（1）由已知e2＝，即＝，故a2＝c2，        ①
從而b2＝c2－a2＝c2，                        ②
故＝＝，設(shè)∠AOF＝∠BOF＝，＝．
故tan∠AOB＝tan2＝＝，即＝．
令＝3m(m＞0) ，則＝4m，＝5m，滿(mǎn)足＋＝2，
所以，，，依次成等差數(shù)列．
（2）由已知c2＝5，代入①，②得a2＝4， b2＝1，
于是雙曲線(xiàn)的方程為．
設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為k，則k＝tan∠BFx＝tan∠AFO＝cot＝2．
于是直線(xiàn)AB的議程為 y＝2(x－)．…………………………………………9分
聯(lián)立消y得15x2－x＋84＝0．
故弦CD的長(zhǎng)度 | CD |＝＝×＝…13分 

略