Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（

2

2

，1），離心率為

2

2

，斜率為k（k≠0）的直線l經(jīng)過橢圓的上焦點(diǎn)F且與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)M（0，m），與x軸交于點(diǎn)N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）記△MPQ，△NMF的面積分別為S₁、S₂，若S₁=6S₂，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（

2

2

，1），離心率為

2

2

，建立方程組，即可求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)l的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，確定PQ的方程，令x=0可得m=

1

2+k2

，從而可求m的取值范圍；
（3）求出N(

k

2+k2

，0)，M（0，

1

2+k2

），利用韋達(dá)定理求出|x₁-x₂|，進(jìn)而表示出面積，利用S₁=6S₂，建立方程，即可求得直線的方程．

解答：解：（1）由題意可得

c a = 2 2 1 2b2 + 1 a2 =1 a2-b2=c2

，∴a=

2

，b=1，c=1
∴橢圓C的方程為x2+

y2

2

=1；
（2）設(shè)l的方程為y=kx+1，代入橢圓方程可得（2+k²）x²+2kx-1=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

2k

2+k2

，x₁x₂=-

1

2+k2

，y₁+y₂=

4

2+k2

∴PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2k

2+k2

，

2

2+k2

）
∴PQ的方程為y=-

1

k

(x+

k

2+k2

)+

2

2+k2

①
令x=0可得m=

1

2+k2

，∴M（0，

1

2+k2

）
∵k≠0，∴m∈（0，

1

2

）；
（3）在①中，令y=0可得：x=

k

2+k2

，∴N(

k

2+k2

，0)
由（2）得，M（0，

1

2+k2

），|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2 × 1+k2

2+k2

∴S1=

1

2

|MF||x₁-x₂|=

2

(1-m)

m(1-m)

S2=

1

2

|MF||NO|=

1

2

(1-m)

m(1-m)

∵S₁=6S₂
∴

2

(1-m)

m(1-m)

=3(1-m)

m(1-m)

∴m=

7

16

∴k=±

14

7

∴l(xiāng)的方程為y=±

14

7

x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，正確表示面積是關(guān)鍵．