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已知點A(-1,0)、B(1,0)和動點P滿足:∠APB=2θ,且存在正常數m,使得|PA|•|PB|cos2θ=m.
(I)求動點P的軌跡C的方程;
(II)設直線l:y=x+1與曲線C相交于兩點E、F,且與y軸的交點為D.若
DE
=(2+
3
)
DF
,求m的值.
分析:(Ⅰ)在△PAB中,由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|•|PB|cos2θ,由此推導出動點P的軌跡為以A,B為兩焦點的橢圓,從而求出動點P的軌跡C的方程.
(Ⅱ)由
y=x+1
x2
1+m
+
y2
m
=1
,得(2m+1)x2+2(m+1)x+(1-m2)=0,設E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),由題設條件知D(0,1),由此入手能夠求出m.
解答:解:(Ⅰ)在△PAB中,由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|•|PB|cos2θ,
∵|AB|=2,|PA|•|PB|cos2θ=m,
∴4=(|PA|+|PB|)2-2|PA|•|PB|(1+cos2θ)=(|PA|+|PB|)2-4m,
∴|PA|+|PB|=2
1+m
>2=|AB|,
即動點P的軌跡為以A,B為兩焦點的橢圓,
∴動點P的軌跡C的方程為
x2
1+m
+
y2
m
=1

(Ⅱ)由
y=x+1
x2
1+m
+
y2
m
=1
,得(2m+1)x2+2(m+1)x+(1-m2)=0,(*)
設E(x1y1),F(xiàn)(x2,y2),由題設條件知D(0,1),
x1+x2=
-2(m+1)
2m+1
,①
 x1x2=
1-m2
2m+1
,②
DE
=(2+
3
)
DF
,∴(x1,y1-1)=(2+
3
)(x2,y2-1),
x1=(2+
3
)x2,③

 將③代入①,②得
(3+
3
)x2=
-2(m+1)
2m+1
(2+
3
)x22=
1-m2
2m+1
,
∵m>0,∴m=
1
2
,
代入(*)方程△>0,故m=
1
2
點評:本題主要考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線的綜合問題.一般是直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立消去y,得到兩根之和與兩根之積的關系式,再結合題中所給條件解題.
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OPn
=an
OA
+bn
OB
(n∈N*)
,O為坐標原點,其中an、bn分別為等差數列和等比數列,若P1是線段AB的中點,設等差數列公差為d,等比數列公比為q,當d與q滿足條件
 
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