Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a﹣2）x+a﹣4；
（1）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為4﹣a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在整數(shù)m，n，使得關(guān)于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好為[m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=x2﹣（a﹣2）x+a﹣4的對(duì)稱軸為x= ，

①當(dāng) ≤1，即a≤4時(shí)，f（x）min=f（1）=1﹣（a﹣2）+a﹣4=﹣1=4﹣aa=5，不滿足a≤4，

②當(dāng) ≥2，即a≥6時(shí)，f（x）min=f（2）=2﹣2（a﹣2）+a﹣4=4﹣a=4﹣aa∈Ra≥6符合題意．

③1＜ ＜2，即4＜a＜6時(shí)，f（x）min=f（ ）= =4﹣aa=6a∈

綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍；a≥6．

（2）解：假設(shè)存在整數(shù)m，n，使得關(guān)于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好為[m，n]，即m≤x2﹣（a﹣2）x+a﹣4≤n的解集為{x|m≤x≤n}．可得f（m）=m，f（n）=n．

即x2﹣（a﹣2）x+a﹣4=x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n．即可得出．m+n=a﹣1，mn=a﹣4

m+n=mn+3m（1﹣n）=3﹣n，當(dāng)n=1時(shí)，m不存在，舍去，

當(dāng)n≠1時(shí)，m= m=﹣1，n=2或m=0，n=3

存在整數(shù)m，n，m=﹣1，n=2或m=0，n=3，使得關(guān)于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好為[m，n]

【解析】（1）找到二次函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)區(qū)間定軸動(dòng)的處理方法，分情況討論得到a的取值范圍，（2）根據(jù)一元二次不等式的解集，即為一元二次方程的兩個(gè)根，得到f（m）=m，f（n）=n，討論可得出存在這樣的整數(shù).
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．