Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）問是否存在實數(shù)a，使得不等式f（x）＞a恒成立．若存在，則求實數(shù)a的取值范圍，否則說明理由．

Answer 1

解：（1）由需滿足：，
解得x＞0且x≠1．
故f（x）的定義域為{x|x＞0且x≠1}．
（2）對．．
∴
=
=
=
，
．
則g（t）＞g（1）=0（t＞1）；g（t）＜g（1）=0（0＜t＜1）．
因此：x＞1時，f'（x）＞0；0＜x＜1時，f'（x）＜0．
∴f（x）在（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減．…（10分）
（3）由（2）可知f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
∴

=（lnx）|_x=1+0-2ln2=1-2ln2，
從而f（x）＞1-2ln2恒成立．
故a≤1-2ln2．…（14分）
分析：（1）求函數(shù)f（x）的定義域，由函數(shù)的解析知，解不等式組解出不等式的解集，即是所求的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，由解析式的形式知宜先對函數(shù)進行求導(dǎo)，再由導(dǎo)數(shù)解出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）由（2）中知函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，令參數(shù)小于此最小值，即為所求的參數(shù)的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，本題第三小題是一個恒成立的問題，恒成立的問題一般轉(zhuǎn)化最值問題來求解，本題即轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數(shù)的取值．本題運算量過大，解題時要認真嚴謹，避免變形運算失誤，導(dǎo)致解題失敗．本題中解析式在x=1處無解，故采取了極限的方法求出自變量在此點時的函數(shù)值．