Question

4．三棱錐S-ABC中，底面ABC為等腰直角三角形，BA=BC=2，側棱SA=SC=2$\sqrt{3}$，二面角S-AC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則此三棱錐外接球的表面積為（　　）

• A． 16π
• B． 12π
• C． 8π
• D． 4π

Answer 1

分析 審題后，二面角S-AC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$是重要條件，根據定義，先作出它的平面角，如圖所示．進一步分析此三棱錐的結構特征，找出其外接球半徑的幾何或數量表示，再進行計算．

解答 解：如圖所示：
取AC中點D，連接SD，BD，則由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，
∴∠SDB為S-AC-B的平面角，且AC⊥面SBD．
又∵BD⊥AC，故BD=AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
在△SAC中，SD²=SA²-AD²=10，
在△SBD中，由余弦定理得SB²=SD²+BD²-2SD•BDcos∠SDB=8，
滿足SB²=SD²-BD²，
∴∠SBD=90°，SB⊥BD，
又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．
以SB，BA，BC為棱可以補成一個長方體，S、A、B、C都在長方體的外接球上，
長方體的對角線為球的一條直徑，所以2R=$\sqrt{4+4+8}$=4，R=2，
∴球的表面積S=4π×2²=16π．
故選：A

點評 本題考查面面角，考查球的表面積，解題的關鍵是確定外接圓的半徑，屬于中檔題．