Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標原點，左頂點，離心率，為右焦點，過焦點的直線交橢圓于、兩點（不同于點）．（1）求橢圓的方程；（2）當時，求直線PQ的方程；（3）判斷能否成為等邊三角形，并說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) 或  （Ⅲ）不可能是等邊三角形

解析:

（Ⅰ）設橢圓方程為 (a>b>0) ，

由已知 ∴……2分

∴ 橢圓方程為． 3分

  （Ⅱ）解法一 橢圓右焦點． 設直線方程為（∈R）．  …4分

由    得．①顯然，方程①的．

設，則有．

     ．…6分∵，∴ ．

解得．∴直線PQ 方程為，即或．…8分

  解法二： 橢圓右焦點．當直線的斜率不存在時，，不合題意……4分

設直線方程為， 由  得．①

顯然，方程①的．設，

則．

    =．…6分

∵，∴，解得．

∴直線的方程為，即或．………………8分

（Ⅲ）不可能是等邊三角形． 如果是等邊三角形，必有，

  ∴，∴，

∴，

∵，∴，∴，

∴，或（無解）．…10分 而當時，，不能構成等邊三角形．∴不可能是等邊三角形．…12分