Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（1）若對任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，都有f（x₁）≠f（x₂），求證：關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根且必有一個根屬于（x₁，x₂）；
（2）若關(guān)于x的方程在（x₁，x₂）的根為m，且成等差數(shù)列，設(shè)函數(shù)f （x）的圖象的對稱軸方程為x=x，求證：x＜m²．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過計算一元二次方程的判別式大于0，可得方程有兩個不相等的實數(shù)根；設(shè)方程對應(yīng)的函數(shù)為g（x），由
g（x₁）g（x₂）＜0，可得方程有一個根屬于（x₁，x₂）．
（2）由題意可得，即a（2m²-x₁²-x₂²）+b（2m-x₁-x₂）=0，由、x₂成等差數(shù)列，可得 x₁+x₂=2m-1，故b=-a（2m²-x₁²-x₂²），由證得結(jié)論．
解答：證明：（1）∵，∴，
整理得：2ax²+2bx-a（x₁²+x₂²）-b（x₁+x₂）=0，（2分）
∴△=4b²+8a[a（x₁²+x₂²）+b（x₁+x₂）]=2[（2ax₁+b）²+（2ax₂+b）²]，
∵x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，∴2ax₁+b≠2ax₂+b，（4分）
∵△＞0，故方程有兩個不相等的實數(shù)根．                    （6分）
令，（7分）
則，
又f（x₁）≠f（x₂），則g（x₁）g（x₂）＜0，
故方程有一個根屬于（x₁，x₂）．         （9分）
（2）∵方程在（x₁，x₂）根為m，
∴，∴a（2m²-x₁²-x₂²）+b（2m-x₁-x₂）=0，（10分）
∵、x₂成等差數(shù)列，則x₁+x₂=2m-1，（12分）
∴b=-a（2m²-x₁²-x₂²），
故．                    （14分）
點評：本題考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，等差數(shù)列的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．