一彈性小球自h0=5 m高處自由下落，當它與水平地面每碰撞一次后速度減少到碰前的
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，不計每次碰撞時間，計算小球從開始下落到停止運動所經(jīng)過的路程和時間．
分析：設小球第一次落地時速度為v0，進而可表示出v0，v1…vn，進而前三次小球下落的路程，歸納出球第n次到第n+1次與地面碰撞經(jīng)過路程，進而的出從第一次到第n+1次所經(jīng)過的路程的極限；同理可歸納出小球從開始下落到第n次與地面相碰經(jīng)過時間，求出前n項和的極限即可得到答案．
解答：解：設小球第一次落地時速度為v0，則有v0=
2gh0
=10（m/s），
那么第二，第三，，第n+1次落地速度分別為v1=
7
9
v0，v2=（
7
9
）2v0，，vn=（
7
9
）nv0，
小球開始下落到第一次與地相碰經(jīng)過的路程為h0=5m，
小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過的路程是L1=2×
v1
2
 
2g
=10×（
7
9
)2．
小球第二次與地相碰到第三次與地相碰經(jīng)過的路程為L2，則L2=2×
v22
2g
=10×（
7
9
）4．
由數(shù)學歸納法可知，小球第n次到第n+1次與地面碰撞經(jīng)過路程為Ln=10×（
7
9
）2n．
故從第一次到第n+1次所經(jīng)過的路程為
Sn+1=h0+L1+L2++Ln，則整個過程總路程為
S=
lim
n→∞
Sn+1=5+
lim
n→∞
10×
(
7
9
)2[1-(
7
9
)2n]
1-(
7
9
)2
=5+10
(
7
9
)2
1-(
7
9
)2
=20.3（m），
小球從開始下落到第一次與地面相碰經(jīng)過時間t0=
2h0
g0
=1（s）．
小球從第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過的時間t1=2×
v1
g
=2×
7
9
，
同理可得tn=2×（
7
9
）n，tn+1=t0+t1+t2++tn，
則t=
lim
n→∞
tn+1=1+
lim
n→∞
2×
(
7
9
)[1-(
7
9
)n]
1-(
7
9
)
=8（s）．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的求和公式．可以通過歸納法歸納出其中包含的等比數(shù)列．
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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

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一彈性小球自h0=5 m高處自由下落,當它與水平地面每碰撞一次后速度減少到碰前的,不計每次碰撞時間,計算小球從開始下落到停止運動所經(jīng)過的路程和時間.

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