若橢圓E1：
x2
a
2
1
+
y2
b
2
1
=1和橢圓E2：
x2
a
2
2
+
y2
b
2
2
=1滿足
a2
a1
=
b2
b1
=m(m＞0)，則稱這兩個橢圓相似，m是相似比．
（Ⅰ）求過（2，
6
)且與橢圓
x2
4
+
y2
2
=1相似的橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過原點的一條射線l分別于（I）中的兩橢圓交于A、B兩點（點A在線段OB上）．求|OA|•|OB|的最大值和最小值．
分析：（1）直接根據(jù)定義得到有
2
a
=
2
b
4
a2
+
6
b2
=1
解得a，b．即可得到與橢圓
x2
4
+
y2
2
=1相似的橢圓方程；
（2）先求出當(dāng)射線l的斜率不存在時求出結(jié)論；再對當(dāng)射線l的斜率存在時，設(shè)其方程y=kx，聯(lián)立直線與兩個橢圓方程分別求出線段的長度，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出|OA|•|OB|的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)與
x2
4
+
y2
2
=1相似的橢圓的方程
x2
a
2
 
+
y2
b
2
 
=1，
有
a
2
=
b
2
22
a
2
 
+
(
6
)2
b
2
 
=1
⇒
a=4
b=2
2
．
所求方程是
x2
16
+
y2
8
=1．…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)射線l的斜率不存在時A(0，±
2
)，B(0，±2
2
)．
設(shè)點P坐標P（0，y0），則y02=4，y0=±2．即P（0，±2）．…（8分）
當(dāng)射線l的斜率存在時，設(shè)其方程y=kx，P（x，y）
由A（x1，y1），B（x2，y2）則
y1=kx1
x
2
1
4
+
y
2
1
2
=1
得
x
2
1
=
4
1+2k2
y
2
1
=
4k2
1+2k2
，
∴|OA|=
2
1+k2
1+2k2
，
同理|OB|=
4
1+k2
1+2k2
．…（10分）
當(dāng)l的斜率不存在時，|OA|•|OB|=
2
•2
2
=4，
當(dāng)l的斜率存在時，|OA|•|OB|=
8(1+b2)
1+2k2
=4+
4
1+2k2
，
∴4＜|OA|•|OB|≤8，
綜上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）
點評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系，難度較大，解題時要仔細審題，注意公式的靈活運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸長為2
2
，離心率為e1=
2
2
，橢圓C2與C1有共同的短軸．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）若C2與直線l：x-y+2=0有兩個不同的交點，求橢圓的離心率e2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E1方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，圓E2方程為x2+y2=a2，過橢圓的左頂點A作斜率為k1直線l1與橢圓E1和圓E2分別相交于B、C． 
（Ⅰ）若k1=1時，B恰好為線段AC的中點，試求橢圓E1的離心率e；
（Ⅱ）若橢圓E1的離心率e=
1
2
，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，當(dāng)|BA|+|BF2|=2a時，求k1的值；
（Ⅲ）設(shè)D為圓E2上不同于A的一點，直線AD的斜率為k2，當(dāng)
k1
k2
=
b2
a2
時，試問直線BD是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E1：
x2
10
+
2y2
5
=1 E2：
x2
a2
+
2y2
b2
=1(a＞b＞0)．E1與E2有相同的離心率，過點F（-
3
，0）的直線l與E1，E2依次交于A，C，D，B四點（如圖）．當(dāng)直線l過E2的上頂點時，直線l的傾斜角為
π
6
．
（1）求橢圓E2的方程；
（2）求證：|AC|=|DB|；
（3）若|AC|=1，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy（O為坐標原點）中，橢圓E1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點在圓E2：x2+y2=a+b上，且橢圓的離心率是
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓E1和圓E2的方程；
（Ⅱ）是否存在經(jīng)過圓E2上的一點P（x0，y0）的直線l，使l與圓E2相切，與橢圓E1有兩個不同的交點A、B，且
OA
•
OB
=3？若存在，求出點P的橫坐標x0的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸長為2
2
，離心率為e1=
2
2
，橢圓C2與C1有共同的短軸．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）若C2與直線l：x-y+2=0有兩個不同的交點，求橢圓的離心率e2的取值范圍．

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