Question

已知橢圓E₁：

x2

10

+

2y2

5

=1 E₂：

x2

a2

+

2y2

b2

=1(a＞b＞0)．E₁與E₂有相同的離心率，過(guò)點(diǎn)F（-

3

，0）的直線(xiàn)l與E₁，E₂依次交于A，C，D，B四點(diǎn)（如圖）．當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)E₂的上頂點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)l的傾斜角為

π

6

．
（1）求橢圓E₂的方程；
（2）求證：|AC|=|DB|；
（3）若|AC|=1，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)E₂的上頂點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)l的傾斜角為

π

6

，且橢圓的離心率是

c

a

=

3

2

，建立方程，即可求得橢圓E₂的方程；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l垂直x軸時(shí)，易求得|AC|=|DB|．當(dāng)直線(xiàn)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)l：y=k（x-

3

），將直線(xiàn)的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=x₃+x₄從而有|AC|=|DB|．
（3）由（2）知，|AC|=|CD|+2，先分類(lèi)討論：當(dāng)直線(xiàn)l垂直x軸時(shí)，不合要求；當(dāng)直線(xiàn)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)l：y=k（x-

3

），由（2）知，x₁+x₂=x₃+x₄，x₁x₂，x₃x₄，利用弦長(zhǎng)公式即可得關(guān)于k的方程，從而解決問(wèn)題．

解答：解：（1）∵b=1，

c

a

=

3

2

，∴a=2，b=1，
因此橢圓E₂的方程為

1

4

x²+y²=1．
（2）當(dāng)直線(xiàn)l垂直x軸時(shí)，易求得A（-

3

，-

7

2

），C（-

3

，-

1

2

），D（-

3

，

1

2

），B（-

3

，

7

2

）
因此|AC|=|DB|．
當(dāng)直線(xiàn)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)l：y=k（x-

3

）
由

y=k(x- 3 ) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8

3

k²x+12k²-4=0     ①，
由

y=k(x- 3 ) x2 10 + 2 5 y2=1

得（1+4k²）x²+8

3

k²x+12k²-10=0   ②，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則x₃、x₄是方程①的解，
x₁、x₂是方程②的解．∵x₁+x₂=x₃+x₄=

-8 3 k2

1+4k2

，
線(xiàn)段AB，CD的中點(diǎn)重合，∴|AC|=|DB|．
（3）．由（2）知，|AC|=|CD|+2，
當(dāng)直線(xiàn)l垂直x軸時(shí)，不合要求；
當(dāng)直線(xiàn)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)l：y=k（x-

3

），由（2）知，
x₁+x₂=x₃+x₄=

-8 3 k2

1+4k2

，x₁x₂=

12k2-10

1+4k2

，
x₃x₄=

12k2-4

1+4k2

，|CD|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4k2+4

1+4k2

，
|AB|=

(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]

=

8(1+k2)(14k2+5)

1+4k2

，
∴

4k2+4

1+4k2

+2=

8(1+k2)(14k2+5)

1+4k2

，
化簡(jiǎn)可得：8k⁴-2k²-1=（4k²+1）（2k²-1）=0，
∴k=±

2

2

，
∴l(xiāng)：y=±

2

2

（x+

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．