Question

【題目】已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=2，點(diǎn)（1，）在橢圓C上．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且△AF2B的面積為，求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（x﹣1）2+y2=2．

【解析】試題分析：（Ⅰ）先設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)題設(shè)中的焦距求得c和焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)（1，）到兩焦點(diǎn)的距離求得a，進(jìn)而根據(jù)b=求得b，得到橢圓的方程．

（Ⅱ）先看當(dāng)直線l⊥x軸，求得A，B點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求得△AF2B的面積與題意不符故排除，進(jìn)而可設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1）與橢圓方程聯(lián)立消y，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)韋達(dá)定理可求得x1+x2和x1x2，進(jìn)而根據(jù)表示出|AB|的距離和圓的半徑，求得k，最后求得圓的半徑，得到圓的方程．

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，由題意可得：

橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1（﹣1，0），F2（1，0）．

∴．

∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）當(dāng)直線l⊥x軸，計(jì)算得到：

，，不符合題意．

當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1），

由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0

顯然△＞0成立，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則，

又

即，

又圓F2的半徑，

所以，

化簡(jiǎn)，得17k4+k2﹣18=0，

即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1

所以，，

故圓F2的方程為：（x﹣1）2+y2=2．