(本小題滿分13分)

 

某旅游景區(qū)的觀景臺P位于高(山頂?shù)缴侥_水平面M的垂直高度PO)為2km的山峰上,山腳下有一段位于水平線上筆直的公路AB,山坡面可近似地看作平面PAB,且△PAB為等腰三角形.山坡面與山腳所在水平面M所成的二面角為α(0°<α<90°),且sinα=.現(xiàn)從山腳的水平公路AB某處C0開始修建一條盤山公路,該公路的第一段、第二段、第三段…,第n-1段依次為C0C1,C1C2,C2C3,…,Cn-1Cn(如圖所示),且C0C1,C1C2,C2C3,…,Cn-1Cn與AB所成的角均為β,其中0<β<90°,sinβ=.試問:

(1)每修建盤山公路多少米,垂直高度就能升高100米.若修建盤山公路至半山腰(高度為山高的一半),在半山腰的中心Q處修建上山纜車索道站,索道PQ依山而建(與山坡面平行,離坡面高度忽略不計),問盤山公路的長度和索道的長度各是多少?

(2)若修建xkm盤山公路,其造價為 a萬元.修建索道的造價為2a萬元/km.問修建盤山公路至多高時,再修建上山索道至觀景臺,總造價最少.

 

【答案】

 

(1)從山腳至半山腰,盤山公路為10km.從半山腰至山頂,索道長2.5km

(2)即修建盤山公路至山高1km時,總造價最小

【解析】解:(1)在盤山公路C0C1上任選一點D,作DE⊥平面M交平面M于E,過E作EF⊥AB交AB于F,連結DF,易知DF⊥C0F.sin∠DFE=,sin∠DC0F=.

∵DF=C0D,DE=DF,∴DE=C0D,

所以盤山公路長度是山高的10倍,索道長是山高的倍,

所以每修建盤山公路1000米,垂直高度升高100米.

從山腳至半山腰,盤山公路為10km.從半山腰至山頂,索道長2.5km.(6分)

(2)設盤山公路修至山高x(0<x<2)km,則盤山公路長為10xkm,索道長(2-x)km.

設總造價為y萬元,

則y=a+(2-x)·2a=(10-5x)a+10a.

令y′=-5a=0,則x=1.

當x∈(0,1)時,y′<0,函數(shù)y單調(diào)遞減;當x∈(1,2)時,y′>0,函數(shù)y單調(diào)遞增,

∴x=1,y有最小值,即修建盤山公路至山高1km時,總造價最小,最小值為15萬元

 

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(Ⅱ)求異面直線所成的角。www.7caiedu.cn           

 

 

 

 

 

 


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