Question

已知函數(shù)f(x)＝xcosx－sinx，x∈.

(1)求證：f(x)≤0；

(2)若a<<b對x∈恒成立，求a的最大值與b的最小值．

Answer 1

解　(1)證明：由f(x)＝xcosx－sinx得

f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.

因?yàn)樵趨^(qū)間上f′(x)＝－xsinx<0，

所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減．

從而f(x)≤f(0)＝0.

(2)當(dāng)x>0時(shí)，“>a”等價(jià)于“sinx－ax>0”；

“<b”等價(jià)于“sinx－bx<0”．

令g(x)＝sinx－cx，則g′(x)＝cosx－c.

當(dāng)c≤0時(shí)，g(x)>0對任意x∈恒成立．

當(dāng)c≥1時(shí)，因?yàn)閷θ我?i>x∈，g′(x)＝cosx－c<0，

所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減．

從而g(x)<g(0)＝0對任意x∈恒成立．

當(dāng)0<c<1時(shí)，存在唯一的x₀∈使得

g′(x₀)＝cosx₀－c＝0.

g(x)與g′(x)在區(qū)間上的情況如下：

因?yàn)?i>g(x)在區(qū)間[0，x₀]上是增函數(shù)，

所以g(x₀)>g(0)＝0.

進(jìn)一步，“g(x)>0對任意x∈恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)，即0<c≤.

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)c≤時(shí)，g(x)>0對任意x∈恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)c≥1時(shí)，g(x)<0對任意x∈恒成立．

所以，若a<<b對任意x∈恒成立，則a的最大值為，b的最小值為1.