Question

已知函數(shù)f（x）=log₂

1+x

1-x

（1）求f（x）的定義域；
（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）畫出t=

1+x

1-x

，x∈（-1，1）的大致圖象，并討論f（x）的單調(diào)性（不須證明）．

Answer 1

分析：（1）由 

1+x

1-x

＞0 及1+x＞0，求得得x的范圍，可得f（x）的定義域．
（2）因?yàn)閒（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=log₂

1-x

1+x

=-f（x），可得f（x）是定義域上的奇函數(shù)．
（3）由于函數(shù)t=

1+x

1-x

=1-

2

x-1

 在（-1，1）上是增函數(shù)，圖象如圖所示，又y=log₂t 為增函數(shù)，
可得f（x）在定義域（-1，1）上的單調(diào)性．

解答：解：（1）由 

1+x

1-x

＞0 及1+x＞0得：-1＜x＜1，
所以，f（x）的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}．�。� 4分）
（2）因?yàn)�，f（x）的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}，
且f（-x）=log₂

1-x

1+x

=log₂(

1+x

1-x

)-1
=-log₂

1+x

1-x

=-f（x），
所以，f（x）是定義域上的奇函數(shù)． （  8分）
（3）由于函數(shù)t=

1+x

1-x

=1-

2

x-1

 在（-1，1）上是增函數(shù)，
圖象如圖所示：（10分）
又y=log₂t 為增函數(shù)，所以，f（x）在定義域（-1，1）上是增函數(shù)．（  12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．