Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別為等比數(shù)列{b_n}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}對(duì)n∈N⁺均有

c_

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1成立，求c₁+c₂c₃+…+c₂₀₁₂．

Answer 1

（1）因?yàn)閍₁=1，則a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，
又等差數(shù)列{a_n}的第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別為等比數(shù)列{b_n}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
即3d（d-2）=0，又公差d＞0，∴d=2，
則a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
又b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴數(shù)列{b_n}的公比為3，
則b_n=b2qn-2=3•3^n-2=3^n-1．
（2）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1①
當(dāng)n=1時(shí)，

c1

b1

=a₂=3，∴c₁=3，
當(dāng)n＞1時(shí)，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=a_n②
①-②得 

cn

bn

=a_n+1-a_n=2（n+1）-1-（2n-1）=2 
∴c_n=2b_n=2•3^n-1（n＞1），而c₁=3不適用該通項(xiàng)公式．
∴c_n=

3         n=1 2•3n-1n≥2

．
∴c₁+c₂+c₃+…c₂₀₁₂=3+2•3+2•3²+…+2•3²⁰¹¹
=1+2•1+2•3+2•3²+…+2•3²⁰¹¹=1+2•

1-32012

1-3

=3²⁰¹²．