Question

在平面直角坐標系xOy中，方向向量為的直線l經過橢圓的右焦點F，與橢圓相交于A、B兩點
（1）若點A在x軸的上方，且，求直線l的方程；
（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面積為6，求k的值；
（3）當k（k≠0）變化時，是否存在一點C（x，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0，若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓方程，算出右焦點F坐標為（3，0），結合橢圓上位于x軸上方的點A滿足算出A（0，3），由此可得直線l的斜率k=-1，即可求出直線l的方程；
（2）設直線l：y=k（x-3），與橢圓方程聯(lián)解消去y得（1+2k²）y²+6ky-9k²=0，由根與系數的關系算出AB的縱坐標之差的絕對值關于k的式子，再根據△PAB的面積為6建立關于k的方程，化簡整理得k⁴-k²-2=0，解之得k=1（舍負）；
（3）設直線l方程為y=k（x-3）與橢圓方程聯(lián)解消去y得（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0，由根與系數的關系得到，然后化簡k_AD+k_BD=0為關于x₁、y₁、x₂、y₂和x的等式，化簡整理得2kx₁x₂-k（x+3）（x₁+x₂）+6kx=0，再將前面算出的x₁+x₂和x₁x₂的表達式代入化簡可得x=6，由此可得存在一點C（6，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0．
解答：解 （1）∵橢圓方程為
∴a²=18，b²=9，得c==3，可得F（3，0）…（1分）
∵且點A在x軸的上方，…（2分）
∴可得A在橢圓上且，得A是橢圓的上頂點，坐標為A（0，3）
由此可得l的斜率k=-1，…（3分）
因此，直線l的方程為：，化簡得x+y-3=0…（4分）
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線l：y=k（x-3）…（5分）
將直線與橢圓方程聯(lián)列，…（6分）
消去x，得（1+2k²）y²+6ky-9k²=0…（7分）
由于△＞0恒成立，根據根與系數的關系可得…（8分）
∴…（9分）
因此，可得S_△PAB=
化簡整理，得k⁴-k²-2=0，由于k＞0，解之得k=1…（10分）
（3）假設存在這樣的點C（x，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0，
根據題意，得直線l：y=k（x-3）（k≠0）
由消去y，得（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0…（12分）
由于△＞0恒成立，根據根與系數的關系可得…（*）…（13分）   
而，，…（14分）
∴
=
由此化簡，得2kx₁x₂-k（x+3）（x₁+x₂）+6kx=0，…（15分）
將（*）式代入，可得，解之得x=6，
∴存在一點C（6，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0．…（16分）
點評：本題給出橢圓方程，在直線l經過橢圓的右焦點F且交橢圓于A、B兩點且滿足的情況下求直線l的方程，并且討論了x軸上是否存在一點C使得直線AC和BC的斜率之和為0的問題．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、一元二次方程根與系數的關系和直線與圓錐曲線的位置關系等知識點，屬于中檔題．