Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABCD．
（1）求證：平面PAB⊥平面PAD
（2）求二面角A-PD-B的大��；
（3）設(shè)AB=1，求點(diǎn)D到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證平面PAB⊥平面PAD，即證AB⊥平面PAD，要證線面垂直根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證與平面內(nèi)兩相交直線垂直即可；
（2）取PD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，證得∠AEB是二面角A-PD-B的平面角，在Rt△BAE中求出此角的正切值即可；
（3）取AD的中點(diǎn)F，連接AF，利用VD-PBC=VP-BCD′建立等量關(guān)系，求出點(diǎn)D到平面PBC的距離．

解答：解：（1）證明：

平面PAD⊥底面ABCD 平面PAD∩底面ABCD=AD AB⊥AD，AB?底面ABCD

?AB⊥平面PAD（3分）
又AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD（4分）
（2）解：取PD的中點(diǎn)E，連接AE，BE
∴AB⊥平面PAD
∴AE是BE在平面PAD上的射影，
∵△PAD是正三角形，
∴AE⊥PD，AE=

3

2

AD
由三垂線定理得BE⊥PD
∠AEB是二面角A-PD-B的平面角（7分）
在Rt△BAE中，∵tanAEB=

AB

AE

=

2 3

3

∴二面角A-PD-B的大小為arctan

2 3

3

（10分）
（3）解：取AD的中點(diǎn)F，連接AF，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且PF⊥AD，
∴PF⊥平面BCD
設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為h，
∵VD-PBC=VP-BCD′
∴S_△PBC•h=S_△BCD•PF
在△PBC中，易知PB=PC=

2

，∴S△PBC=

7

4

又S△BCD=

1

2

，PF=

3

2

，∴h=

1 2 × 3 2

7 4

=

21

7

即點(diǎn)D到平面PBC的距離為

21

7

點(diǎn)評：本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力．