Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x∈R均有f（x-1）=f（x+1），當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）=2x-1，則f（log

1

2

6）=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知中對任意實數(shù)x∈R均有f（x-1）=f（x+1），可得：函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，又由log

1

2

6∈（-3，-2），可得：log

1

2

6+2∈（-1，0），即-log

1

2

6-2∈（0，1），故f（log

1

2

6）=f（log

1

2

6+2）=-f（-log

1

2

6-2），利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡可得答案．

解答： 解：∵對任意實數(shù)x∈R均有f（x-1）=f（x+1），
故f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
又由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∵log

1

2

6∈（-3，-2），
∴log

1

2

6+2∈（-1，0），
∴-log

1

2

6-2∈（0，1），
∴f（log

1

2

6）=f（log

1

2

6+2）=-f（-log

1

2

6-2）=-[2（-log

1

2

6-2）-1]=2log

1

2

6+5=3-2log₂3，
故答案為：3-2log₂3

點評：本題考查的知識點是對數(shù)的運算性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．