【題目】已知橢圓M:: (a>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(﹣1,0),左右頂點(diǎn)分別為A,B.經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于C,D兩點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí),求線段CD的長(zhǎng);
(3)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2 , 求|S1﹣S2|的最大值.
【答案】
(1)解:因?yàn)镕(﹣1,0)為橢圓的焦點(diǎn),所以c=1,又b2=3,
所以a2=4,所以橢圓方程為 =1;
(2)解:因?yàn)橹本的傾斜角為45°,所以直線的斜率為1,
所以直線方程為y=x+1,和橢圓方程聯(lián)立得到
,消掉y,得到7x2+8x﹣8=0,
所以△=288,x1+x2= ,x1x2=﹣ ,
所以|CD|= |x1﹣x2|= × = ;
(3)解:當(dāng)直線l無斜率時(shí),直線方程為x=﹣1,
此時(shí)D(﹣1, ),C(﹣1,﹣ ),△ABD,△ABC面積相等,|S1﹣S2|=0,
當(dāng)直線l斜率存在(顯然k≠0)時(shí),設(shè)直線方程為y=k(x+1)(k≠0),
設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),
和橢圓方程聯(lián)立得到 ,消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0,
顯然△>0,方程有根,且x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
此時(shí)|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|
=2|k(x2+x1)+2k|= = ≤ = = ,(k= 時(shí)等號(hào)成立)
所以|S1﹣S2|的最大值為
【解析】(1)由焦點(diǎn)F坐標(biāo)可求c值,根據(jù)a,b,c的平方關(guān)系可求得a值;(2)寫出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立消掉y得關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求得|CD|;(3)當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)可得,|S1﹣S2|=0;當(dāng)直線l斜率存在(顯然k≠0)時(shí),設(shè)直線方程為y=k(x+1)(k≠0),與橢圓方程聯(lián)立消y可得x的方程,根據(jù)韋達(dá)定理可用k表示x1+x2 , x1x2 , |S1﹣S2|可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1 , x2的式子,進(jìn)而變?yōu)殛P(guān)于k的表達(dá)式,再用基本不等式即可求得其最大值;
【考點(diǎn)精析】掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的根本,需要知道橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(﹣x)=f(x),且當(dāng)x<0,f(x)=3x+1,若a= ,b= ,c=2 ,則有( )
A.f(a)<f(b)<f(c)
B.f(b)<f(c)<f(a)
C.f(b)<f(a)<f(c)
D.f(c)<f(a)<f(b)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xoy取相同的單位長(zhǎng)度,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=2 sinθ.
(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)圓C與直線l交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)P坐標(biāo)為(3, ),求|PA|+|PB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,對(duì)任意的,恒有成立.
(1)如果為奇函數(shù),求滿足的條件.
(2)在(1)中條件下,若在上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的最小值;
(2)當(dāng)時(shí),判斷的單調(diào)性,并說明理由;
(3)求實(shí)數(shù)的范圍,使得對(duì)于區(qū)間上的任意三個(gè)實(shí)數(shù),都存在以為邊長(zhǎng)的三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中是真命題的是( )
①“若x2+y2≠0,則x,y不全為零”的否命題 ②“正多邊形都相似”的逆命題
③“若m>0,則x2+x-m=0有實(shí)根”的逆否命題④“若x-是有理數(shù),則x是
無理數(shù)”的逆否命題
A、①②③④ B、①③④ C、②③④ D、①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《中國(guó)詩詞大會(huì)》節(jié)目組決定把《將進(jìn)酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場(chǎng),并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》相鄰,且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰,且均不排在最后,則后六場(chǎng)開場(chǎng)詩詞的排法有_____________種.(用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“龜兔賽跑”講述了這樣的故事:領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜,驕傲起來,睡了一覺,當(dāng)它醒來時(shí),發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了,于是急忙追趕,但為時(shí)已晚,烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn).用,分別表示烏龜和兔子所行的路程,為時(shí)間,則與故事情節(jié)相吻合的是( 。
A.B.C.D.
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