分析:(1)①當(dāng)n=1時(shí),已知
-<a1<0成立;②假設(shè)n=k(n∈N
*)時(shí),不等式
-<ak<0成立.要證
-<ak+1<0成立,只需
<21+an+1<2,因?yàn)?span id="5td7z9f" class="MathJye">
21+ak+1=f(
ak),所以只需
<f(ak)<2.利用導(dǎo)數(shù)能夠得到當(dāng)n=k+1時(shí),
-<an<0(n∈N
*)也成立.由①,②可知,
-<an<0對于任意n∈N
*都成立.
(2)
21+ak+1-21+ak=f(an)-21+ak.令g(x)=f(x)-2
1+x,則g′(x)=f′(x)-2
1+xln2=(-4
x-2
x+1)ln4,因?yàn)?t
2-t+1=0時(shí),
t=,所以
t<,或
t>時(shí),-t
2-t+1<0.由此能夠比較a
n與a
n+1(n∈N
*)的大。
解答:(1)證明:①當(dāng)n=1時(shí),已知
-<a1<0成立;
②假設(shè)n=k(n∈N
*)時(shí),不等式
-<ak<0成立.
要證
-<ak+1<0成立,只需
<21+an+1<2,
∵
21+ak+1=f(ak),
∴只需
<f(ak)<2.
又f′(x)=-4
xln4+2ln2=(1-4
x)ln4
當(dāng)
-<x<0時(shí),
0<1-4x<,
∴
f(-) <f(ak)<f(0).
又f(0)=2,
f(-) =-ln2=+1-ln2>,
∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式
-<an<0也成立.
由①,②可知,
-<an<0對于任意n∈N
*都成立.
(2)解:
21+ak+1-21+ak=f(an)-21+ak令g(x)=f(x)-2
1+x,
則g′(x)=f′(x)-2
1+xln2=(1-4
x)ln4-2
xln4=(-4
x-2
x+1)ln4.
∵-t
2-t+1=0時(shí),
t=,
∴
t<,或
t>時(shí),-t
2-t+1<0,
而
x>-時(shí),
2x>>,
∴x
>-時(shí),g′(x)<0,
即
f(an)-21+ak>f(0)-2=0,
∴
21+ak+1>21+ak,
即a
n+1>a
n(n∈N
*).
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,易出錯(cuò).解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用.