已知f(x)=3-4x+2xln2,數(shù)列{an}滿足:-
1
2
a1<0
,21+an+1=f(an),(n∈N*).
(1)求證:-
1
2
an<0
(n∈N*).
(2)判斷an與an+1(n∈N*)的大小,并說明理由.
分析:(1)①當(dāng)n=1時(shí),已知-
1
2
a1<0
成立;②假設(shè)n=k(n∈N*)時(shí),不等式-
1
2
ak<0
成立.要證-
1
2
ak+1<0
成立,只需
2
21+an+1<2
,因?yàn)?span id="5td7z9f" class="MathJye">21+ak+1=f(ak),所以只需
2
<f(ak)<2
.利用導(dǎo)數(shù)能夠得到當(dāng)n=k+1時(shí),-
1
2
an<0
(n∈N*)也成立.由①,②可知,-
1
2
an<0
對于任意n∈N*都成立.
(2)21+ak+1-21+ak=f(an)-21+ak.令g(x)=f(x)-21+x,則g′(x)=f′(x)-21+xln2=(-4x-2x+1)ln4,因?yàn)?t2-t+1=0時(shí),t=
-1±
5
2
,所以t<
-1-
5
2
,或t>
-1+
5
2
時(shí),-t2-t+1<0.由此能夠比較an與an+1(n∈N*)的大。
解答:(1)證明:①當(dāng)n=1時(shí),已知-
1
2
a1<0
成立;
②假設(shè)n=k(n∈N*)時(shí),不等式-
1
2
ak<0
成立.
要證-
1
2
ak+1<0
成立,只需
2
21+an+1<2
,
21+ak+1=f(ak)
∴只需
2
<f(ak)<2

又f′(x)=-4xln4+2ln2=(1-4x)ln4
當(dāng)-
1
2
<x<0
時(shí),0<1-4x
1
2

f(-
1
2
) <f(ak)<f(0)

又f(0)=2,f(-
1
2
) =
5
2
-ln2=
3
2
+1-ln2>
2
,
∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式-
1
2
an<0
也成立.
由①,②可知,-
1
2
an<0
對于任意n∈N*都成立.
(2)解:21+ak+1-21+ak=f(an)-21+ak
令g(x)=f(x)-21+x,
則g′(x)=f′(x)-21+xln2=(1-4x)ln4-2xln4=(-4x-2x+1)ln4.
∵-t2-t+1=0時(shí),t=
-1±
5
2
,
t<
-1-
5
2
,或t>
-1+
5
2
時(shí),-t2-t+1<0,
x>-
1
2
時(shí),2x
2
2
-1+
5
2

∴x>-
1
2
時(shí),g′(x)<0,
f(an)-21+ak>f(0)-2=0,
21+ak+121+ak,
即an+1>an(n∈N*).
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,易出錯(cuò).解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用.
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