Question

關于x的方程x²-（a+b）x+a-b+5=0的兩根x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂＜2，則

b

a+3

的取值范圍是（　　）

• A．（0，3）
• B．（1，3）
• C．(1，

  7

  3

  )
• D．(

  7

  3

  ，3)

Answer 1

分析：構建函數(shù)f（x）=x²-（a+b）x+a-b+5，方程x²-（a+b）x+a-b+5=0的兩根x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂＜2，確定滿足條件的可行域，再利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答：解：由方x²-（a+b）x+a-b+5=0的二次項系數(shù)為1＞0，故函數(shù)f（x）=x²-（a+b）x+a-b+5圖象開口方向朝上．
又∵方程x²-（a+b）x+a-b+5=0的兩根x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂＜2，
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，∴

a-b+5＞0 b＞3 a+3b-9＜0

其對應的平面區(qū)域如圖陰影示：

∵

b

a+3

=

b-0

a-(-3)

表示陰影區(qū)域上一點與（-3，0）連線的斜率
由

b=3 a-b+5=0

可知

b=3 a=-2

，此時斜率為

3-0

-2+3

=3；
由

b=3 a+3b-9=0

，可得

b=3 a=0

，此時斜率為

3-0

0+3

=1
∴

b

a+3

的取值范圍是（1，3）
故選B．

點評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關系，體現(xiàn)了轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題