Question

如圖，面積為S的正方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖形M，可按下面方法估計M的面積：在正方形ABCD中隨機投擲n個點，若n個點中有m個點落入M中，則M的面積的估計值為

m

n

S．假設正方形ABCD的邊長為2，M的面積為1，并向正方形ABCD中隨機投擲10000個點，以X表示落入M中的點的數(shù)目．
（I）求X的均值EX；
（II）求用以上方法估計M的面積時，M的面積的估計值與實際值之差在區(qū)間（-0.03，0.03）內(nèi)的概率．
附表：P(k)=

k

t=0

C

t 10000

×0.25t×0.7510000-t

Answer 1

分析：（1）由題意知把每個點落到哪里作為一個實驗，實驗的結(jié)果有兩個，一個是落在陰影內(nèi)，一個是不落在陰影內(nèi)，而落在陰影內(nèi)的概率已知，所以本題符合二項分布，代入公式，得到結(jié)果．
（2）根據(jù)所給的公式，代入數(shù)據(jù)進行運算，解題過程中注意表中所個的數(shù)據(jù)的應用，本題只要認真就不會出錯．

解答：解：（1）∵每個點落入M中的概率均為p=

1

4

．
依題意知X\～B(10000，

1

4

)．
EX=10000×

1

4

=2500．
（Ⅱ）依題意所求概率為P(-0.03＜

X

10000

×4-1＜0.03)，
P(-0.03＜

X

10000

×4-1＜0.03)=P(2425＜X＜2575)
=

2574

t=2426

C

t 10000

×0.25t×0.7510000-t
=

2574

t=0

C

t 10000

×0.25t×0.7510000-t-

2425

t=0

C

t 10000

×0.25t×0.7510000-1
=0.9570-0.0423=0.9147．

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，注意滿足獨立重復試驗的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點也是重點，這種題目高考必考，應注意解題的格式．