Question

已知拋物線C：y²=4x，直線l：y=kx+b與C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng)k=1，且直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)時(shí)，求|AB|的值；
（2）當(dāng)直線OA，OB的傾斜角之和為45°時(shí)，求k，b之間滿足的關(guān)系式，并證明直線l過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得|AB|的值；
（2）把直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去x，根據(jù)韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，設(shè)直線OA，OB的傾斜角分別為α，β，斜率分別為k₁，k₂，依題意可知α+β=45°，進(jìn)而根據(jù)正切的兩腳和公式可知

k1+k2

1-k1k2

=1其中k1=

y1

x1

=

4

y1

，k2=

4

y2

代入ky²-4y+4b=0求得b和k的關(guān)系式，此時(shí)使ky²-4y+4b=0有解的k，b有無(wú)數(shù)組把直線方程整理得k（x+4）=y-4推斷出直線l過(guò)定點(diǎn)（-4，4）．

解答：解：（1）拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0）
由已知l：y=x-1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y2=4x y=x-1

，消y得x²-6x+1=0，
所以x₁+x₂=6，x₁x₂=1
|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

2

(x2-x1)2

=

2

(x2+x1)2-4x1x2

=8

（2）聯(lián)立

y2=4x y=kx+b

，消x得ky²-4y+4b=0（*）（依題意k≠0）
y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

，
設(shè)直線OA，OB的傾斜角分別為α，β，斜率分別為k₁，k₂，
則α+β=45°，tan（α+β）=tan45°，

k1+k2

1-k1k2

=1
其中k1=

y1

x1

=

4

y1

，k2=

4

y2

，
代入上式整理得y₁y₂-16=4（y₁+y₂）
所以

4b

k

-16=

16

k

，即b=4k+4，
此時(shí)，使（*）式有解的k，b有無(wú)數(shù)組
直線l的方程為y=kx+4k+4，整理得k（x+4）=y-4
消去

x+4=0 y-4=0

，即

x=-4 y=4

時(shí)k（x+4）=y-4恒成立，
所以直線l過(guò)定點(diǎn)（-4，4）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力．