Question

【題目】某學(xué)校高三年級(jí)有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是否與性別有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成5組：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
附：K2= ．
（1）從樣本中分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求兩人恰好為一男一女的概率；
（2）若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”？

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得，抽取的100名學(xué)生中，男生60名，女生40名，

分?jǐn)?shù)小于等于110分的學(xué)生中，

男生人有60×0.05=3（人），記為A1，A2，A3；

女生有40×0.05=2（人），記為B1，B2；…（2分）

從中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，所有的可能結(jié)果共有10種，它們是：

（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），

（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；

其中，兩名學(xué)生恰好為一男一女的可能結(jié)果共有6種，它們是：

（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），

（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；

故所求的概率為P= = …

（2）解：由頻率分布直方圖可知，

在抽取的100名學(xué)生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）

據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：

	數(shù)學(xué)尖子生	非數(shù)學(xué)尖子生	合計(jì)
男生	15	45	60
女生	15	25	40
合計(jì)	30	70	100

所以得K2= = ≈1.79；

因?yàn)?.79＜2.706，

所以沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”

【解析】（1）根據(jù)分層抽樣原理計(jì)算抽取的男、女生人數(shù)，利用列舉法計(jì)算基本事件數(shù)，求出對(duì)應(yīng)的概率值；（2）由頻率分布直方圖計(jì)算對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，填寫列聯(lián)表，計(jì)算K2值，對(duì)照數(shù)表即可得出概率結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解頻率分布直方圖的相關(guān)知識(shí)，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過(guò)作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．