Question

（2013•紅橋區(qū)二模）已知等比數(shù)列{a_n}的公比q≠1，a₁=3，且3a₂、2a₃、a₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}，b₁=q，b_n=3a_n-1+rb_n-1（n≥2，n∈N^*）（r為常數(shù)，且qr≠0，r≠3）．
①寫(xiě)出b₂，b₃，b₄；
②試推測(cè)出b_n用q，r，n表示的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你推測(cè)的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)3a₂、2a₃、a₄成等差數(shù)列，建立方程，求出公比，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）①利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算，可求b₂，b₃，b₄；
②猜出通項(xiàng)，結(jié)合數(shù)列遞推式，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答：解：（1）∵3a₂、2a₃、a₄成等差數(shù)列，
∴4a₃=3a₂+a₄，∴4a1q2=a1q3+3a1q
∵q≠0，a₁=3，
∴q²-4q+3=0
∵q≠1，∴q=3
∵a₁=3，∴an=3×3n-1=3ⁿ；
（2）①∵b₁=q，∴b₂=3a₁+rb₁=3（3+r）；b₃=3a₂+rb₂=3（3²+3r+r²）；
b₄=3a₃+rb₃=3（3³+3²r+3r²+r³）；
②b_n=3（3^n-1+3^n-2r+…+3r^n-2+r^n-1），
∵r≠3，∴b_n=

3(3n-rn)

3-r

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下．
①n=2時(shí)，b2=

3(32-r2)

3-r

=3（3+r），結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即b_k=

3(3k-rk)

3-r

∴n=k+1時(shí)，b_k+1=3a_k+rb_k=3•3k+

3r(3k-rk)

3-r

=

3(3k+1-rk+1)

3-r

即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立
由①②可知結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．