Question

在四棱錐O-ABCD中，OA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AB=OA=tBC（t＞0）．
（I）當(dāng)t=1時，求證：BD⊥DC；
（II）若BC邊有且僅有一個點(diǎn)E，使得OE⊥ED，求此時二面角A-CD-E的正切值．

Answer 1

分析：（I）t=1?底面ABCD為正方形?BD⊥AC?BD⊥面OAC?BD⊥OC
（II）由AB，AD，AO兩兩垂直，分別以它們所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，令A(yù)B=1?BC=

1

t

，設(shè)BE=m，由BC邊上有且僅有一個點(diǎn)E，使得OE⊥ED時，E為BC的中點(diǎn)，且t=

1

2

，m=1，再分別求得面OED的法向量與平面OAD的法向量，用向量夾角公式求得二面角．

解答：解：（I）當(dāng)t=1時底面ABCD為正方形，
∴BD⊥AC
又因?yàn)锽D⊥OA，∴BD⊥面OAC
又OC?面OAC，∴BD⊥OC（5分）
（II）因?yàn)锳B，AD，AO兩兩垂直，分別以它們所在
直線為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，令A(yù)B=1，
可得BC=

1

t

則B（1，0，0），D(0，

1

t

，0)，C(1，

1

t

，0)，O(0，0，1)（7分）
設(shè)BE=m，則E（1，m，0）(0≤m≤

1

t

)
要使OE⊥ED，只要

OE

•

ED

=-1+m(

1

t

-m)=0即tm²-m+t=0
∵BC邊有且僅有一個點(diǎn)E，使得OE⊥ED．∴△=0?t=

1

2

，此時m=1．
所以BC邊上有且僅有一個點(diǎn)E，使得OE⊥ED時，E為BC的中點(diǎn)，且t=

1

2

（9分）
設(shè)面OED的法向量

p

=（x，y，1）
則

p • ED =0 p • DO =0

即

-x+y=0 -2y+1=0

解得

p

=(

1

2

，

1

2

，1)
取平面OAD的法向量

q

=（1，0，0）則（

p

•

q

）的大小與二面角A-DO-E的大小相等或互補(bǔ)．
所以cos＜

p

•

q

＞=

6

6

．
因此二面角A-OD-E的正切值為

5

．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查線線，線面，面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化和向量法求二面角問題．