Question

已知等差數列{a_n}為遞增數列，前n項和為S_n，n∈N^*，且S₃=a₅，a₁與S₅的等比中項為5．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）數列{b_n}滿足b_n=pn-a_n，且{b_n}的前n項和為T_n，n∈N^*，若對任意n∈N^*都有T_n≤T₆，求實數p的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由題意可得，即a₁²=1
∴或
∵{a_n}為遞增的等差數列，
∴d＞0，∴，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）

（II）b_n=pn-2n+1=（p-2）n+1=p-1+（p-2）（n-1），
所以b_n是首項為p-1，公差為p-2的等差數列，
T_n=n（p-1）+（p-2）=n²+n，
由T_n≤T₆，n=6時最大，知T_n開口向下，
∴p＜2且
∴
分析：（I）由S₃=a₅，a₁與S₅的等比中項為5，利用等差數列的通項公式及前n項和的公式表示出關于a₁和d的兩個關系式，聯(lián)立即可求出a₁和d的值，根據等差數列{a_n}為遞增數列判斷出滿足題意的一對值，然后根據a₁和d的值寫出數列的通項公式即可；
（II）把a_n的通項公式代入到b_n=pn-a_n中得到b_n也是一個等差數列，根據等差數列的前n項和的公式表示出T_n，由T_n≤T₆，n=6時最大，得到T_n是一個開口向下的拋物線，所以二次項系數小于0，且5.5≤-≤6.5，求出不等式的解集即可得到p的取值范圍．
點評：此題考查學生掌握等差數列的通項公式及前n項和的公式，靈活利用二次函數的圖象與性質解決實際問題，是一道中檔題．