Question

已知AB是圓O的直徑，C，D是圓上不同兩點(diǎn)，且CD∩AB=H，AC=AD，PA⊥圓O所在平面
（Ⅰ）求證：PB⊥CD；
（Ⅱ）若PB=2

2

，∠PBA=

π

4

，∠CAD=

2π

3

，求H到平面PBD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由AB是圓O的直徑知∠ACB=∠ADB=90°，從而證明PB⊥CD．（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作PB的垂線，過(guò)點(diǎn)H作PB的垂線，分別交PB于點(diǎn)E，F(xiàn)；求出H到平面PBD的距離．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵AC=AD，∴Rt△ACB≌Rt△ADB，∴AB⊥CD，
又∵PA⊥圓o所在平面，CD在圓o所在平面內(nèi)，
∴PA⊥CD，
∵PA∩AB=A，∴CD⊥平面PAB，
∴PB⊥CD．
（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)A作PB的垂線，過(guò)點(diǎn)H作PB的垂線，分別交PB于點(diǎn)E，F(xiàn)；
∵Rt△PAB中，∠PBA=45°，PB=2

2

，
∴PA=AB=2，∴AE=ABsin45°=

2

，
又∵∠CAB=∠DAB=60°，∴AC=AD=1，
∵CH⊥AH，∴AH=

1

2

，
∴BH=

3

2

，HD=

3

2

，BD=

3

，PD=

5

∴V_H-PBD=V_P-HDB=

1

3

×

1

2

×

3

2

×

3

2

×2=

3

4

，
S_△PBD=

1

2

×

3

×

5

=

15

2

，
∴H到平面PBD的距離為

3 3 4

15 2

=

3 5

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理，同時(shí)考查了利用體積求高的方法，屬于中檔題．