Question

【題目】已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為2直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)Q恰為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程；

（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)MA，MB分別交拋物線(xiàn)于C，D兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)C，D，Q三點(diǎn)能否共線(xiàn)？若能，求出直線(xiàn)的斜率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）能，.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，結(jié)合拋物線(xiàn)的性質(zhì)，即可求出拋物線(xiàn)的方程為。

（Ⅱ）設(shè)，，設(shè)而不求利用點(diǎn)差法求出直線(xiàn)AB的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求出直線(xiàn)的方程。

（Ⅲ）設(shè)，，，，且.聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，得到聯(lián)立方程，再利用韋達(dá)定理以及M，A，C三點(diǎn)共線(xiàn)得出的數(shù)量關(guān)系，假設(shè)C，D，Q三點(diǎn)共線(xiàn)，構(gòu)造關(guān)于 的等式，轉(zhuǎn)化為的等式，進(jìn)行求解即可得出結(jié)論。

（Ⅰ）由題意有，及，

解得.故拋物線(xiàn)的方程為.

（Ⅱ）設(shè)，，則， ，

兩式相減得，即.

于是，，

（注：利用直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求得，同樣得4分）

故直線(xiàn)l的方程為，即；

（Ⅲ）設(shè)，，，，且.

由，得，則， ，

由M，A，C三點(diǎn)共線(xiàn)，可得，化簡(jiǎn)得，即.

同理可得， ，

假設(shè)C，D，Q三點(diǎn)共線(xiàn)，則有，化簡(jiǎn)得，

進(jìn)一步可得，，即，解得.

因此，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率時(shí)，C，D，Q三點(diǎn)共線(xiàn).